БрГТУ

ИНДИВИДУАЛЬНАЯ РАБОТА ПО MATLAB

1. Простые вычисления

Задания

Задача 1.

• Ввести текст в виде комментария, как заглавие программы.
• Ввести исходные данные.
• Задать изменение аргумента.
• Вычислить значения функций 1 и 2 для аргумента в заданном интервале.
• Вывести графики функций одновременно на одном графике в декартовых координатах. Для разных графиков использовать разный тип линий.

Задача 2 .

• Ввести текст в виде комментария, как заглавие программы.
• Ввести исходные данные.
• Задать изменение аргумента.
• Вычислить значения функций 1 и 2 для аргумента в заданном интервале.
• Вывести графики функций в двух подокнах на одном графике. Графики сделать в столбиковом формате.

Варианты заданий:

Методические указания

1.        Текстовые пояснения в программу вводятся, как комментарий. Он начинается с символа %, который располагается в первой позиции строки. Комментарий - это текст! В него не надо включать символы операций.

2.        Для формирования XY графика необходимо:

• Задать аргумент в формате x=<нач. значение>:<шаг>:<нач. значение>.
• Вычислить функцию, например, y=f(x).
• Вывести график процедурой plot(x,y,s). Процедура рисует график прямыми линиями между вычисленными точками. Здесь s - строковая константа, задающая параметры линии, ее можно пропускать. Определены следующие значения s:

• Если на одном графике нужно отобразить несколько функций, например, y1=f(x) и y2=f(x), то они вначале вычисляются, а затем выводятся процедурой plot(x,y1,'s1',x,y2,'s2...), в которой в качестве параметров для каждой функции следуют группы <аргумент, функция, строка типа линии>.
• Для создания в графическом окне нескольких подокон для вывода графиков используется процедура subplot(m,n,p), где m - число подокон в окне по горизонтали, n - по вертикали, p - номер используемого подокна (нумерация с 1).
• Для формирования графика в столбиковой форме нужно использовать процедуру bar(x,y). При выводе такого графика в подокно строка программы имеет вид subplot(m,n,p), bar(x,y)

Пример выполнения

Задание        

Функция 1:         y = 2sin(x)
Функция 2:         z = 0.02x3
Начальное значение аргумента   a = -2π
Конечное значение аргумента     b = 2π
Шаг изменения аргумента           h = π/20

Задача 1

% Задача 1
% Диапазон и шаг
a=-2*pi;
b=2*pi;
h=pi/20;
% Задание аргумента
X=a:h:b;
%Расчет функций
Y=2*sin(X);
Z=0.02*X.^3;
% Вывод графиков с одинаковым типом линии в окно 1
figure(1);
plot(X,Y,X,Z);
% Включим координатную сетку
grid on
% Вывод графиков с разными типами линии в окно 2
figure(2);
plot(X,Y,'-',X,Z,':');
% Включим координатную сетку
grid on

Задача 2

% Задача 2
% Диапазон и шаг
a=-2*pi;
b=2*pi;
h=pi/20;
% Задание аргумента
X=a:h:b;
%Расчет функций
Y=2*sin(X);
Z=0.02*X.^3;
% Вывод графика 1 в виде столбиков в подокно 1
subplot(2,1,1),bar(X,Y);
% Вывод графика 2 в виде столбиков в подокно 2
subplot(2,1,2),bar(X,Z);

2. Многомерные вычисления

Задания

Задача 1.

Двумерная функция и объемные графики в своих окнах.

• Ввести исходные данные.
• Вычислить двумерную функцию.
• Вывести функцию в виде 5 трехмерных графиков разного типа.
• Вывести функцию в виде 2 контурных графиков разного типа.

Задача 2.

Двумерная функция и объемные графики в подокнах общего окна.

Варианты заданий:

Методические указания

1.        Формирование задач. В работе предусмотрены 2 задачи, в каждой из которых вычисляется двумерная функция, описывающая объемную фигуру, и строятся поверхностные и контурные графики с использованием различных графических функций. В первой задаче каждый график выводится в свое окно, во второй в подокна общего окна.

2.        Представление матриц. Значения матрицы выводятся в текстовой форме построчно. Если столбцы в экране не умещаются, происходит разбиение на группы столбцов, которые выводятся последовательно. Табличный вывод в MatLab, как в MathCAD, не предусмотрен.

3.        Поверхностный и контурный графики. Для формирования поверхностного или контурного графика необходимо:

• задать число точек по координатам X и Y,
• создать вложенные циклы по X и Y, вычислить функцию Z=f(X,Y),
• ввести номер графического окна, вывести туда график выбранного типа.

4.        Следует использовать графики:

• трехмерный с аксонометрией, функция plot3(X,Y,Z),
• трехмерный с функциональной окраской, функция mesh(X,Y,Z),
• трехмерный с функциональной окраской и проекцией, функция meshc(X,Y,Z),
• трехмерный с функциональной окраской и проекцией, функция surf(X,Y,Z),
• контурный, функция contour(X,Y,Z),
• объемный контурный, функция contour3(X,Y,Z),
• трехмерный с освещением, функция surfl(X,Y,Z).

5.        В каждом окне можно рисовать несколько графиков с наложением друг на друга. В списке параметров для каждого графика параметры перечисляются группами последовательно (в работе график для окна один). В каждую группу входят:

• X - первая координата площадки основания,
• Y - вторая координата площадки основания,
• Z - значение функции.

Пример выполнения

Задание

Функция z = sin(x)/x*sin(y)/y. Пределы изменения аргументов -2π...2π.

Задача 1

% Задача 1
% Число точек и шаг
N=40;
h=pi/20;
% Расчет матрицы
for n=1:2*N+1
  if n==N+1 A(n)=1; else A(n)=sin(h*(n-N-1))/(h*(n-N-1)); end;
end;
for n=1:2*N+1
     for m=1:2*N+1
          Z(n,m)=A(n)*A(m);
      end;
end;
% Задание площадки
[X,Y]=meshgrid([-N:1:N]);
% Вывод графика в аксонометрии в окно 1
figure(1);
plot3(X,Y,Z);
% вывод трехмерного графика с функциональной окраской в окно 2
figure(2);
mesh(X,Y,Z);
% вывод трехмерного графика с функциональной окраской и проекцией в окно 3
figure(3);
meshc(X,Y,Z);
% вывод трехмерного графика с проекцией в окно 4
figure(4);
surf(X,Y,Z);
% Вывод контурного графика в окно 5

figure(5);
contour(X,Y,Z);
% Вывод объемного контурного графика в окно 6
figure(6);
contour3(X,Y,Z)
% Вывод объемного графика с освещением в окно 7
figure(7);
surfl(X,Y,Z);

Задача 2

% Задача 2
% Число точек и шаг
N=40;
h=pi/20;
% Расчет матрицы
for n=1:2*N+1
   if n==N+1 A(n)=1; else A(n)=sin(h*(n-N-1))/(h*(n-N-1)); end;

end;

for n=1:2*N+1

    for m=1:2*N+1
        Z(n,m)=A(n)*A(m);
    end;
end;
% Задание площадки
[X,Y]=meshgrid([-N:1:N]);
% Вывод графика в аксонометрии в подокно 1
subplot(3,3,1),plot3(X,Y,Z);
% вывод трехмерного графика с функциональной окраской в подокно 2
subplot(3,3,2),mesh(X,Y,Z);
% вывод трехмерного графика с функциональной окраской и проекцией в подокно 3
subplot(3,3,3),meshc(X,Y,Z);
% вывод трехмерного графика с проекцией в подокно 4
subplot(3,3,4),surf(X,Y,Z);
% Вывод контурного графика в подокно 5
subplot(3,3,5),contour(X,Y,Z);
% Вывод объемного контурного графика в подокно 6
subplot(3,3,6),contour3(X,Y,Z);
% Вывод объемного графика с освещением в подокно 7
subplot(3,3,7),surfl(X,Y,Z);

3. Решение уравнений

Задания

Задача 1.

Решение нелинейного уравнения.

1.        Создать Mat-функцию для функции f1(x).

2.        Создать файл программы. Ввести текст заглавия задачи, как комментарий. Ввести в него аргументы в заданных пределах.

3.        Вывести y(x)=f1(x) в виде XY графика. По нему определить приближенно корни уравнения y(x)=0. Если корни на графике не просматриваются, то изменить пределы изменения аргумента и повторить операции.

4.        Для каждого корня найти точное значение, используя функцию fzero.

5.        Сформировать строку с результатами и вывести ее в заголовок окна графика.

Задача 2.

Решение системы из двух нелинейных уравнений.

1.        Создать Mat-функции для функций f2(x) и f3(x) = f1(x) - f2(x).

2.        Создать файл программы. Ввести текст заглавия задачи, как комментарий. Ввести в него аргументы в заданных пределах.

3.        Вывести f1(x) и f2(x) в виде XY графиков. По нему определить приближенно корни системы уравнений, как координаты точек пересечения графиков f1(x) и f2(x).Если корни на графике не просматриваются, то изменить пределы изменения аргумента и повторить операции.

4.        Для каждого корня найти точное значение, используя функцию fzero к переменной f3(x).

5.        Сформировать строку с результатами и вывести ее в заголовок окна графика.

Варианты заданий:

Методические указания

1.        При решении нелинейного уравнения оно формируется из функций задания, как f1(x)=0.

2.        При решении системы из двух нелинейных уравнений из функций задания формируется уравнение f3(x) = f1(x) - f2(x) = 0. Функции из задания надо определить, как функции пользователя, создав для них новые Mat-функции. Это упростит обращения к ним при решении уравнений.

3.        В качестве имен функций можно выбрать fun1, fun2 и fun3. Mat-функции надо создавать в новом окне редактора. Формат Mat-функции:

                                   function [var1 var2 :] = <имя функции>(список параметров)
                                   var1=<выражение>
                                   var2=<выражение>
                         function - зарезервированное слово,
                         [var1 var2 :] - вектор имен возвращаемых функцией значений.

4.        В нашем случае возможное такое описание Mat-функции:

                                    function = fun1(x) f1=<выражение>

5.        Локализация корней. Уравнение или система уравнений может иметь несколько корней, каждый из которых ищется отдельно. При этом для каждого корня надо задать диапазон аргумента, в котором он находится (только один!).

6.        Это делается путем локализации корня. Для этого надо просчитать значения функций в заданном интервале и построить их графики. Начальное значение для решения одного уравнения - точка пересечения графиком функции оси Х. График выводится процедурой, в которой аргументы - переменная х и анализируемая функция. С помощью grid on график делается с координатной сеткой:

                                    plot(x,fun1(x));grid on;

7.        Начальное значение для решения системы из двух уравнений - точка взаимного пересечения графиков функций. Графики выводятся процедурой, в которой для каждого графика следует группа параметров:

                                    plot(x,fun1(x),x,fun2(x));grid on;

8.        Функция fzero. Используется для нахождения корня нелинейного уравнения. Формат этой функции:

<имя результата>=fzero('имя функции',[левый предел: правый предел])

Пример использования:

% Вектор аргумента
x=[a:h:b];
% График локализации корней
plot(x,fun1(x));grid on;
% Найти первый корень
x1=fzero('fun1(x)',[-4 -3]);

Пример выполнения

Задание

Функция 1       f1(x) = -0.85*x³-2x²+7x+2
Функция 2       f2(x) = 6cos(x) - 5

Для нахождения корней выражений будем использовать процедуры MatLab, для которых нужно выражения оформить, как Mat-функции. Создадим в редакторе MatLab новые встроенные Mat-функции с именами fun1, fun2 и fun3, тексты которых сохраним в файлах: fun1.m, fun2.m и fun3.m. Третья функция нужна для решения системы из двух уравнений по тому же алгоритму, что для одного уравнения, но с преобразованием двух уравнений в одно разностное.

Файл fun1.m               function f1=fun1(x)

f1=-0.85*x.^3-2*x.^2+7*x+2

Файл fun2.m               function f2=fun2(x)

f2=6*cos(x)-5

Файл fun3.m               function f3=fun3(x)

f3=-0.85*x.^3-2*x.^2+7*x+2-6*cos(x)+5 Задача 1

Задача 1

% Задача 1
% Нахождение корней выражения
% Пределы и шаг аргумента
a=-4;
b=4;
h=0.5;
% Вектор аргумента
x=[a:h:b];
% График локализации корней
plot(x,fun1(x));grid on;
% Найти первый корень
x1=fzero('fun1(x)',[-4 -3]);
% Найти второй корень
x2=fzero('fun1(x)',[-1 0]);
% Найти третий корень
x3=fzero('fun1(x)',[1 3]);
% Получить строку результатов
Result=strcat('x1=',num2str(x1),' x2=',num2str(x2),' x3=',num2str(x3));
% Включить его в график в форме заголовка
title(Result)

Задача 2

% Задача 2
% Решение системы нелинейных уравнений
% Пределы и шаг аргумента
a=-4;
b=4;
h=0.5;
% Вектор аргумента
x=[a:h:b];
% График локализации корней
plot(x,fun1(x),x,fun2(x));grid on;
% Найти первый корень
x1=fzero('fun3(x)',[-4 -3])
% Найти второй корень
x2=fzero('fun3(x)',[-1 0]);
% Найти третий корень
x3=fzero('fun3(x)',[2 3]);
% Получить строку результатов
Result=strcat('x1=',num2str(x1),' x2=',num2str(x2),' x3=',num2str(x3));
% Включить его в график в форме заголовка
title(Result);

4. Символьные вычисления

Задания

Задача 1.

Развертка/свертка.

• Ввести выражение f1(x) и развернуть его.
• Полученное выражение свернуть. Сравнить результат с f1(x).

Задача 2

Дифференцировать/интегрировать.

• Ввести выражение f1(x) и найти производную по х.
• Для полученного выражения найти неопределенный интеграл. Сравнить с f1(x).

Задача 3.

Разложить в ряд Тейлора.

• Ввести выражение f2(x) и найти его разложение в ряд Тейлора.
• Построить XY график для f2(x) и его разложения в ряд Тейлора F2(x).

Варианты заданий:

Методические указания

1.        Обратите внимание: в задании употреблены имена стандартных функций, принятые в MatLab. Они могут не совпадать с принятыми в математике. В именах функций имеет значение высота букв.

2.        Результат символьных преобразований выводится в командное окно с новым символьным именем. В отличие от вывода результатов несимвольных преобразований выводимое значение размещается без абзацного отступа.

3.        Развертка и свертка выражений. Под разверткой понимается запись выражения в развернутой форме (с открытыми скобками). Под сверткой понимается обратное действие.

• Начать надо с указания символьных переменных. Для этого применяется функция: syms перечень имен переменных через пробел.
• Затем надо ввести исходную функцию.
• Далее следует выполнить операцию развертки и получить результат с именем f1_new. Для этого используется функция expand(имя переменной).
• Затем над f1_new нужно выполнить операцию свертки и получить результат с именем f1_old. Для этого используется функция simple(имя переменной).
• Признаки правильного выполнения операций - при свертке результата развертки восстанавливается исходная функция.

4.        Дифференцирование и интегрирование выражений. При дифференцировании выражения находится производная по выбранной переменной. При интегрировании выражения находится неопределенный интеграл (первообразная) по выбранной переменной. Константа по умолчанию - нуль.

• Начать надо с указания символьных переменных. Для этого применяется функция: syms перечень имен переменных через пробел.
• Затем надо ввести исходную функцию.
• Далее следует выполнить операцию дифференцирования и получить результат с именем f1_new. Для этого используется функция diff(f1,'x',n). Здесь f1- имя функции, 'x' - имя переменной (вводится, как строка, в апострофах), по которой производится дифференцирование, n - порядок производной.
• Затем над f1_new нужно выполнить операцию интегрирования и получить результат с именем f1_old. Для этого используется функция int(f1_new,'x'). Здесь f1_new - имя функции, 'x' - имя переменной (вводится, как строка), по которой производится интегрирование.
• Признаки правильного выполнения операций - при интегрировании результата дифференцирования восстанавливается исходная функция.

5.        Разложение в ряд Тейлора. При этом для заданного выражения находится ряд Тейлора с остаточным членом, величина которого зависит от точности, выбираемой при выполнении операции. Остаточный член отбрасывается.

• Начать надо с указания символьных переменных. Для этого применяется функция: syms перечень имен переменных через пробел.
• Затем надо ввести исходную функцию.
• Далее следует выполнить операцию разложения в ряд Тейлора и получить результат с именем f1_new. Для этого используется функция taylor(f1,n,'x',a). Здесь f1 - имя функции, переменной, n - порядок остаточного члена, , 'x' - имя переменной (вводится, как строка, в апострофах), по которой производится разложение, a - значение переменной, для которого делается разложение (если оно пропускается, то предполагается а=0).
• Затем над f1_new нужно выполнить операцию свертки и получить результат с именем f1_old. Для этого используется функция simple(имя переменной).
• Признаки правильного выполнения операции - в окрестности точки, а графики исходной и полученной функций совпадают. Для построения графиков символьных функций имеется процедура ezplot(f2,-h,h);grid on. Здесь f - имя символьной функции, (-h h) - нижний и верхний предел значений аргумента, grid on - включает в графике координатную сетку. В заголовок графического окна помещается описание функции. По этой причине в одно графическое окно можно вывести только один график.

Пример выполнения

Задание

f1(x)=(a+x)³

f2(x)=sin(x)/x

Задача 1

% Задача 1
% Определить символьные переменные
syms a x;
% Функция
f1=(a+x)^3
% Расширить ее
f1_new=expand(f1)
% Свернуть расширенное
f1_old=simple(f1_new)

Задача 2

Задача 2
% Определить символьные переменные
syms a x;
% Функция
f1=(a+x)^3
% Найти первую производную по х
f1_new=diff(f1,'x',1)
% Найти неопределенный интеграл по х
f1_old=int(f1_new,'x')

Задача 3

% Задача 3
% Определить символьные переменные
syms x;
% Функция
f2=sin(x)/x
% Найти разложение Тейлора по х в точке 0
f2_new=taylor(f2,5,'x',0)
% Диапазон просмотра
h=4;
% График f2
figure(1);
ezplot(f2,-h,h);grid on
% График f2_new
figure(2);
ezplot(f2_new,-h,h);grid on